Точка N лежит на стороне AC треугольника ABC, причем AN:NC = 2:3 . Отрезок  BN пересекает медиану AM в точке О так, что ВО = 7. Найдите длину отрезка BN.

Воспользуемся теоремой Чевы ,  проведем отрезок [tex]CE[/tex]  , так что бы он проходил через точку [tex]O[/tex]. 
 Получим 
 [tex]\frac{BE}{EA}*\frac{2}{3}=1\\ \frac{BE}{EA}=\frac{3}{2}[/tex] , теперь воспользуемся теоремой  Ван Обеля 
 [tex]\frac{BO}{ON}=\frac{3}{2}+1\\ \frac{7}{ON}=\frac{5}{2}\\ ON=\frac{14}{5}\\ BN=\frac{14}{5}+7=\frac{49}{5}[/tex]  
 Так же можно воспользоватся подобием треугольников итд