В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равна 5, перпендикулярна основаниям AD и BC, сумма острых углов А и С равна 90 градусов. Найдите длину меньшего основания трапеции, если большая диагональ равна 13. 

Обозначим точку пересечения диагоналей  [tex]O[/tex] ,  треугольники [tex]BOC;AOD[/tex] подобны .  Так же   [tex]ABD;DCB[/tex]  откуда получаем 
[tex]\frac{BC}{5} = \frac{5}{AD}\\ BC*AD=25[/tex]. 
Положим что [tex]OC=x;OB=y[/tex]  получаем  [tex] \frac{x}{13-x}=\frac{y}{5-y} [/tex] .  
Так как угол  [tex]DBC=90а\\ BDA=90а[/tex] , по теореме Пифагора  получаем 
[tex]y^2+BC^2=x^2\\ (5-y)^2+AD^2=(13-x)^2[/tex].
Получаем систему уравнения     
  [tex]5x=13y\\ AD=\frac{25}{BC}\\\\ BC^2+\frac{25x^2}{169}=x^2\\ (5-\frac{5x}{13})^2+\frac{625}{BC^2}=(13-x)^2\\\\ [/tex]
подставляя во второе получаем что  [tex]BC=6+\sqrt{11}>0[/tex]  это меньшее основание