В треугольнике АВС медиана ВМ, высота АH и биссектриса СЕ пересекаются в одной точке Р. Известно Ане, что AC = 6, BC = 8 . Найдите высоту АН.

Ответ:

АН = (6/7)·√33 ед.

Объяснение:

Отметим, что по теореме о биссектрисе угла треугольника  

АЕ/ЕВ = АС/ВС = 6/8 = 3/4. АМ = МС = 3 (ВМ - медиана).

В треугольнике АВМ с секущей ЕС по теореме Менелая имеем:

(АЕ/ЕВ)·(ВР/РМ)·(МС/СА) = 1.  =>

(ВР/РМ)·(3/4)·(1/2) = 1.  => ВР/РМ = 8/3.

В треугольнике СВМ с секущей НА по теореме Менелая имеем:

(СН/НВ)·(ВР/РМ)·(МА/СА) = 1.  =>

(СН/НВ)·(8/3)·(1/2) = 1.  =>  СН/НВ = 6/8 = 3/4.  

ВС = 3+4 = 7 частей. СН = 3 части  =>  СН = (3/7)·ВС = 24/7.

Из прямоугольного треугольника АНС по Пифагору найдем АН:

АН = √(АС² - НС²) = √(36 - 24²/49)  = (√1188)/7 = (6/7)·√33 ед.