В треугольника АВС через G обозначено точку пересечения медиан; через r, r1, r2, r3 - радиусы кругов, вписанных в треугольники ABC, GAB, GBC, GAC, соответственно; p - полупериметр треугольника АBC.

[tex] \frac{1}{r_1}+ \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} \geq \frac{3}{r}+ \frac{18}{p} [/tex]

Пусть [tex]a,\,b,\,c,\,m_a,\,m_b,\, m_c[/tex] - длины сторон и медиан треугольника ABC, [tex]S_{ABC}=S.[/tex]Воспользовавшись формулу [tex]S=pr[/tex] и то, что [tex]S_{GBC}=S_{GAB}=S_{GAC}= \frac{S}{3} [/tex], получаем, что нужно доказать неравенство.
    Подставив вместо р и r, получим
[tex] \frac{3a+2(m_b+m_c)}{2S} + \frac{3b+2(m_a+m_b)}{2S} + \frac{3c+2(m_a+m_b)}{2S} \geq \frac{3(a+b+c)}{2S} + \frac{36}{a+b+c} [/tex]
Упрощать здесь не буду, но напишу упрощенный
[tex] \frac{m_a+m_b+m_c}{S} \geq \frac{6S}{a+b+c} [/tex]
Или имеем такое равенство: [tex] \frac{m_a}{3} + \frac{m_b}{3}+ \frac{m_c}{3} \geq \frac{6S}{a+b+c} [/tex]

Пусть [tex]d_a,\, d_b,\, d_c-[/tex]расстояния от точки G к сторонам a, b, c треугольника АВС. Очевидно, что [tex]d_a \leq \frac{m_a}{3} ,\,d_b \leq \frac{m_b}{3} ,\, d_c= \frac{m_c}{3} [/tex] Также имеем[tex]d_a= \frac{2S_{GBC}}{a} = \frac{2S}{3a} [/tex]. Аналогично, [tex]d_b= \frac{2S}{3b} ,\,\, d_c= \frac{2S}{3c} [/tex]

Достаточно доказать неравентсво [tex] \frac{2S}{3a} + \frac{2S}{3b}+ \frac{2S}{3c} \geq \frac{6S}{a+b+c} [/tex], которое равносильна неравенству, что выражает отношение между средним арифметическим и средним гармоническим 3 положительных чисел:
        [tex] \frac{a+b+c}{3} \geq \frac{3}{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} } [/tex]