Около
трапеции KLMN
описана окружность, причём основание KN
является её диаметром. Известно, что KN=4,
LM=2. Хорда MT пересекает диаметр KN в точке S, причём KS:SN=1:3.
Найдите площадь треугольника STL.

  Так как по условию около трапеций можно описать окружность , то следовательно трапеций равнобедренная . 
Проведем  из  точки [tex]O[/tex]-центра окружности радиус  к хорде   [tex]LM[/tex]     .    Тогда угол  [tex]LTM=30а[/tex] так как она опирается на ту же дугу что центральный угол [tex]LOM[/tex] который равен ее половине [tex]60а[/tex] , так как [tex]OL=OM=2=LM[/tex] правильный треугольник . 
Заметим что [tex]LS[/tex] медиана     [tex]KS=OS=1[/tex] , треугольник [tex]LSO[/tex] прямоугольный, тогда    [tex] LS=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}[/tex] . 
 По свойству хорд получаем 
 [tex]TS*SM=KS*SM\\ TS*SM=3\\ SM=\sqrt{2^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{7}\\ [/tex] 
          [tex] TS=\frac{3}{\sqrt{7}}[/tex]  
 [tex]TL^2+\frac{9}{7}-2TL*\frac{3}{\sqrt{7}}cos30=3\\ TL=\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\\ S_{STL} = \frac{\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}*\frac{3}{\sqrt{7}}}{2}*\frac{1}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}[/tex]