На отрезке AC дана точка В. Найдите все точки М такие, для которых угол МАС в два раза меньше угла МВС.

Рассмотрим треугольник АБМ. Для этого треугольника угол МБЦ внешний, он равен сумме углов АМБ и МАБ (он же МАЦ). Итак, для того, чтобы угол МБЦ был в два раза больше МАЦ, должно выполняться равенство:
МАЦ+АМБ=2МАЦ.
МАЦ=АМБ.
Рассмотрим треугольник АБМ. В нем углы МАБ и АМБ равны, значит он равнобедренный по признаку с равными сторонами АБ и БМ. М - точка, при которой АБ=БМ.