К плоскости прямоугольного треугольника ABC (угол В=90 град) проведен перпендикуляр МС. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если МС=а, АС=b, ACB=30 градусов

Ответ:

[tex]MB=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\sqrt{4a^{2}+3b^{2}}}[/tex]

Объяснение:

СВ⊥АВ по условию,

СВ - проекция наклонной МВ на плоскость (АВС), значит

МВ⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.

МВ - искомое расстояние.

Из прямоугольного треугольника АВС:

[tex]cos\angle C=\dfrac{BC}{AC}[/tex]

[tex]BC=AC\cdot cos30^\circ=b\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{b\sqrt{3}}{2}[/tex]

ΔMCB:  ∠MCB = 90°, по теореме Пифагора:

[tex]MB=\sqrt{MC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{a^{2}+\dfrac{b^{2}\cdot 3}{4}}[/tex]

[tex]MB=\sqrt{\dfrac{4a^{2}+3b^{2}}{4}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}\sqrt{4a^{2}+3b^{2}}}[/tex]