Докажите, что
если каждая диагональ четырехугольника делит его периметр пополам, то он
является параллелограммом. 

пусть а,b,c,d стороны 4-хугольника. тогда по условию следует
a+b=c+d
a+d=b+c
решаем данную систему получаем что, например b=d
А далее из уравнений записанных выше путем подстановки вместо b подставим d, получаем a=c. По признакам параллелограмма получаем что  abcd- параллелограмм (т.к. две противоположные стороны равны)