В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а высота пирамиды равна 12см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

В основании пирамиды лежит правильный треугольник ABC со стороной равной 6см.

S(осн.)=[tex]S_{ABC}=\dfrac{AB^2\sqrt3}{4} =\dfrac{36\sqrt3}{4}[/tex] =9√3 см².

Высота правильной пирамиды падает в центр основания. Поэтому если DH высота пирамиды, а DM - апофема, то MH - радиус вписанной окружности в правильный треугольник. Т.к. по теореме о 3ёх перпендикулярах HM⊥AC.

[tex]HM=\dfrac{AB\sqrt3}{6} =\dfrac{6\sqrt3}{6}[/tex] =√3 см

В прямоугольном ΔDHM (∠H=90°) найдём гипотенузу DM по теореме Пифагора.

[tex]DM=\sqrt{12^2+\sqrt3 ^2} =\sqrt{144+3} [/tex] =√147 см

Боковые грани правильной пирамиды это равные треугольники.

S(бок.)=[tex]3\cdot S_{ADC} =3\cdot DM\cdot AC\cdot \dfrac12 =\dfrac32 \cdot 6\cdot \sqrt{147} [/tex] =9√147 см²

S(полн.) = S(осн.)+S(бок.) = 9√3 + 9√147 см²

Ответ: 9√3 + 9√147 см².