четыре точки разбивают окружность на дуги, длины которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3. найдите меньший угол между диагоналями четырехугольника, полученного путем последовательного соединения этих точек.

Ориентир по рисунку . 
Полученный четырехугольник будет вписанным в окружность.
Так как дуги по формуле равны [tex]L=\frac{\pi*r*n}{180} [/tex] , где [tex]n[/tex] -  центральный угол     . 
 Пусть угол  [tex]AOD=n[/tex] , дуга [tex]\wedge AD=x[/tex] . 
 [tex]x=\frac{\pi*r*n}{180}\\ 3x=\frac{\pi*r*n_{1}}{180}\\ 9x=\frac{\pi*r*n_{2}}{180}\\ 27x=\frac{\pi*r*n_{3}}{180}\\\\ n+n_{1}+n_{2}+n_{3}=360\\\\ n_{1}=3n\\ n_{2}=9n\\ n_{3}=27n \\ n=9а\\ n_{1}=27а\\ n_{2}=81а\\ n_{3}=243а[/tex],
 Заметим что  углы [tex]BDC \ \ BOC[/tex] итд опираются на одну и ту же дугу. 
 По теореме  о вписанном угле  , вписанный     угол   [tex]BDC=\frac{BOC}{2}[/tex] 
выражая все углы 
получим 
 [tex]BDC=40.5а\\ ADB=13.5а\\ CBD=121.5а\\ ABD=4.5а\\[/tex]
[tex]ACB=13.5\\ [/tex] 
 тогда угол между диагоналями 
 [tex]180-121.5-13.5=45[/tex] он самый наименьший