Может ли медиана треуголника равняться соседней стороне?
А биссектриса?
А высота?

Медиана может равняться соседней стороне. Для построения примера возьмите равнобедренный треугольник DBC (DB=BC) и возьмите точку A, симметричную точке C относительно точки D. Треугольник ABC будет искомым. 

Биссектриса может равняться соседней стороне. Для построения примера возьмите равнобедренный треугольник DBC (DB=BC) с углом B, меньшим 60 градусов. Проведите прямую через точку B (точку пересечения этой прямой с прямой DC обозначим буквой A) так, чтобы угол ABD равнялся углу DBC. Треугольник ABC искомый.

Высота может равняться соседней стороне. Для построения примера возьмите прямоугольный треугольник ABC (угол A  прямой); тогда высота, опущенная из вершины B, будет совпадать со стороной AB и тем самым будет равна этой стороне. Если же потребовать, чтобы треугольник был непрямоугольным, такой пример привести невозможно, поскольку в этом случае высота будет короче соседних сторон.