диагонали четырехугольника ABCD AC и BD пересекаются в точке O, так, что OC=5см, OB=6см, OA=15 см, OD=18 см. Жокажите, что в четырехугольнике ABCD BC|| AD и найдите отношение треугольников AOD и BOC
Ответ
Условие: Диагонали четырехугольника ABCD AC и BD пересекаются в точке O так, что OC = 5 см, OB = 6 см, OA = 15 см, OD = 18 см. Докажите, что в четырехугольнике ABCD BC ║ AD и найдите отношение площадей треугольников AOD и BOC.
Дано: ABCD - четырехугольник, AC ∩ BD = O, OC = 5 см, OB = 6 см, OA = 15 см, OD = 18 см.
а) Доказать: BC ║ AD.
б) Найти: [tex]\dfrac{S_{AOD}}{S_{BOC}}.[/tex]
а) Доказательство:
ΔAOD подобен ΔBOC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними:
- OA/OC = 15/5 = 3/1 и OD/OB = 18/6 = 3/1 ⇒ OA/OC = OD/OB
- ∠AOD = ∠BOC - как вертикальные углы
Значит, ∠ВСО = ∠DAO, а это равные накрест лежащие углы.
Если при пересечении двух прямых третьей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
⇒ BC ║ AD, что и требовалось доказать.
б) Решение:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
[tex]\dfrac{S_{AOD}}{S_{BOC}}=\dfrac{\frac{1}{2}*OA*OD*sinAOD}{\frac{1}{2}*OB*OC*sinBOC}}=\dfrac{OA*OD}{OB*OC}}=\dfrac{15*18}{6*5}=\dfrac{3*3}{1*1}=\dfrac{9}{1}[/tex]
Ответ: а) доказано ; б) 9 : 1.