В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O — центр осно­ва­ния, S — вершина, SA=13, BD=10. Найдите длину отрезка SO

т. к. пирамида правильная, то у неё в основании лежит квадрат и все боковые грани равны.
По условию точка О - середина основания пирамиды, следовательно и она середина пересечения диагоналей квадрата и делит каждую диагональ пополам.
Из вершины S проведём перпендикуляр (высоту) в точку О.

Рассм. ΔSOD - прямоугольный (т. к. SO - высота)
OD = 1\2 * ВD (т. к. точка О - середина основания пирамиды)
OD = 1\2 * 10 = 5 см

По теореме Пифагора:
SO² = SD² - OD²
SO² = 13² - 5²
SO² =  169 - 24 = 144
SO = 12 см