в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB боковая сторона AC равна 2√3 а cos угла A корень из 3/2.Найдите длину высоты AH этого треугольника.

Δ [tex]ABC-[/tex] равнобедренный
[tex]AB-[/tex] основание
[tex]AC=2 \sqrt{3} [/tex]
[tex]cos\ \textless \ A= \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex]
[tex]AH-[/tex] ?

Δ [tex]ABC-[/tex] равнобедренный
[tex]AC=CB[/tex]
[tex]\ \textless \ A=\ \textless \ B[/tex] ( по свойству углов при основании  равнобедренного треугольника)
[tex]cos\ \textless \ A= \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex]  ⇒ [tex]\ \textless \ A=30к[/tex]
[tex]\ \textless \ A=\ \textless \ C=30к[/tex]
[tex]CK[/tex] ⊥ [tex]AB[/tex]
Δ [tex]CKA-[/tex] прямоугольный
[tex] \frac{AK}{AC} =cos\ \textless \ A[/tex]
[tex]AK=AC*cos\ \textless \ A[/tex]
[tex]AK=2 \sqrt{3} * \frac{ \sqrt{3} }{2} =3[/tex]
[tex]AK=KB[/tex]
[tex]AB=2AK=2*3=6[/tex]
[tex]AH[/tex] ⊥ [tex]BC[/tex] (по условию)
Δ [tex]AHB-[/tex] прямоугольный
[tex] \frac{AH}{AB}=sin\ \textless \ C [/tex]
[tex]AH=AB*sin\ \textless \ C[/tex]
[tex]AH=6*sin30к=6* \frac{1}{2} =3[/tex]

Ответ: 3

Если вспомнить, что [tex] \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex] - это косинус 30°,
то , т.к. ∆ АВС равнобедренный, ∠АСВ=∠САВ=30°, и ∠АВС=120°. Треугольник АВС - тупоугольный, высота АН проводится к продолжению ВС, и ∠АВН=60° как смежный углу АВС. Тогда АН=АВ•sin60°=[tex]2 \sqrt{3}[/tex]•[tex] \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex]=3 (ед. длины)
Как вариант можно найти сторону АС.  Если ВМ - высота ( медиана, биссектриса) равнобедренного ∆ АВС, то АМ=АВ•cos∠A= AB•[tex] \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex] =3 ⇒АС=2•AH=6

В равнобедренном ∆ АBС ∠С=∠А. ⇒ синус ∠С=√(1-cos²A)=√(1-3/4)=1/2
АН=АС•sin 30°=6:2=3 (ед. длины)