В прямоугольном треугольнике АВС угол С = 90 градусов; угол А = 30 градусов. На катете АС взята точка Е такая, что угол ВЕС = 60 градусов. Найдите АС, если ЕС = 8 см.

Геометрия 7 класс.

∠CBE=90°-60°=30° (сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°)
BE=2EC=8*2=16 (см) (катет против угла 30° равен половине гипотенузы)
∠EBA=∠CBA-∠CBE=60°-30°=30°
∠CBE=∠EBA
△EBA - равнобедренный (углы при основании равны)
EA=BE=16 (см)
AC=EC+EA=8+16=24 (см)

1) В треугольнике ABC:
 найдем угол B. ∠B=180-∠A-∠C=180-90-30=60.
2) В треугольнике BEC:
∠B=60 и ∠BEC=60, значит треугольник BEC - равносторонний, следовательно EC=BC=BE=8
3) В треугольнике ACE:
∠ACE=∠C-∠ECB=90-60=30.
Так как ∠A=30  и ∠ACE=30, значит треугольник ACE - равнобедренный (AC - основание), следовательно CE=AE=8.
4) В треугольнике ABC:
Если AE=8 и EB=8, то AB=16.
5) Находим катет AC по теореме Пифагора:

[tex] AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} [/tex]
[tex] AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{16^{2} - 8^{2}} = \sqrt{256-64} = \sqrt{192} = 8 \sqrt{3} [/tex]