Треугольник вписан в окружность так,что одна из его сторон проходит через центр окружности,а две другие удалены от него на 3 см и 3 √3 см. Найдите радиус окружности.

отрезки 3 см и 3 √3 см "вырежут" из прямоугольного треугольника 
прямоугольник...
и получатся еще два прямоугольных треугольника с гипотенузами = радиусу...
обозначим их неизвестные катеты (х) и (у)...
можно заметить, что все получившиеся прямоугольные треугольники подобны))) 
х / (х+3√3) = r / (2r) -- т.е. коэффициент подобия = (1/2)
2х = х+3√3
х = 3√3
аналогично у = 3
т.е. катеты данного треугольника: 3*2 = 6 и (3√3)*2 = 6√3
по т.Пифагора
6^2 + (6√3)^2 = (2r)^2 
36 + 108 = 4r^2
r^2 = 144
r = 12