В трапеции ABCD (AB||CD) на диагонали AC взята точка P и через нее проведена прямая MN параллельно прямой AB (точка M лежит на прямой AD, точкаN – на BC,  Где на прямой AC надо взять точку P, чтобы сумма площадей треугольников APM и CPN была наименьшей

Продолжу , положим что [tex]\frac{AP}{AC}=y[/tex]  , из следствия что треугольники [tex]ABC,CPN[/tex] подобны , так же как и  [tex]AMP;ADC[/tex] , получим  
[tex]\frac{S_{CPN}}{S_{ABC}}=\frac{PC}{AC}\\\\ \frac{PC}{AC}=\frac{AC-AP}{AC}=1-y\\\\ S_{CPN}=S_{ABC}(1-y)^2\\\\ \frac{S_{AMP}}{S_{ADC}}=\frac{AP}{AC}=y\\\\ S_{AMP}=S_{ADC}y^2\\\\ [/tex] 

[tex]S=S_{ABC}(1-y)^2+y^2S_{ADC}\\\\ S=\frac{AB*H}{2}(1-y)^2+y^2*\frac{DC*H}{2}\\\\ \frac{2S}{H}=AB(1-y)^2+y^2DC\\\\ f(y)=AB(1-y)^2+y^2DC\\\\ f'(y)=-AB+ABy+DCy=0\\\\ AB(y-1)+DCy=0\\\\ AB(1-y)=DCy\\\\ \frac{AB}{DC}=\frac{y}{1-y}\\\\ \frac{AP}{PC}=\frac{AB}{DC}\\\\ [/tex] 
а по свойству  диагональ делить треугольники на подобные что соответствую исходному, а остальные два треугольник будут равны 
 Ответ при пересечений диагоналей