Два одинаковые круга, которые касаются друг друга, вписанные в острые углы прямоугольного треугольника. Площади этих кругов в сумме равны площади круга, вписанного в треугольник. Найти острые углы этого треугольника.

См. чертеж.
MK - общая касательная двух окружностей. N - точка пересечения BC и MK.
1) Прямоугольные треугольники BMN и MKA имеют равные углы, то есть подобны. Поскольку радиусы вписанных окружностей у них равны, эти треугольники равны между собой. То есть BM = MK.
2) Треугольник MKA подобен исходному треугольнику ABC, но его радиус r1 вписанной окружности в √2 меньше (радиусы связаны по условию 2*π(r1)^2 = πr^2).
отсюда и стороны MKA в √2 раз меньше сторон ABC.
Если обозначить AB = c; AC = b; BC = a; ∠CAB = α; то
MK = a/√2; BM = AB - AM = c - b/√2;
Отсюда a/c + b/c = √2; или sin(α) + cos(α) = √2;
Если возвести это в квадрат, получится sin(2α) = 1; то есть α = π/4;

      Другая идея решения,  проведем  общую касательную  к окружностям , получим что один их треугольников вписанный , тогда его  центр окружности [tex]O[/tex] лежит на  биссектрисе , так как и  у  большего треугольника [tex]ABC[/tex]  центр так же  лежит на биссектрисе  , получаем что [tex]AV[/tex] проходит через оба центра .     [tex] O;O_{1}[/tex] 
 [tex]V \in BC[/tex] 
  Проведя радиусы [tex]r;R[/tex] меньшего и большего соответственно , получим их прямоугольных треугольников  [tex]AOE;AO_{1}N[/tex]    
 [tex]AE=r*ctg( \frac{a}{2})\\ AN=R*ctg( \frac{a}{2} )\\\\ [/tex] 
 Отнимем     
 [tex] (R-r)ctg\frac{a}{2}=EN\\ [/tex] так как 
  [tex]2S_{menwix}=S_{bolwego}\\ [/tex] 
 получим 
 [tex]2AE^2=AN^2 \\ \sqrt{2}AE=AN[/tex] . 
 
 [tex]AE(\sqrt{2}-1)=(R-r)*ctg\frac{a}{2}\\ AE=r*ctg(\frac{a}{2})\\ r*ctg\frac{a}{2}(\sqrt{2}-1)=(R-r)*ctg\frac{a}{2}\\ \sqrt{2}r*ctg\frac{a}{2}-r*ctg\frac{a}{2}=R*ctg\frac{a}{2}-rctg\frac{a}{2}\\ R=\sqrt{2}r[/tex] 
 Это возможно когда треугольник  прямоугольный и равнобедренный ,  тогда   углы
 [tex]ABC=45а[/tex]