В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата если катеты треугольника равны 10, 15 см.

Пусть сторона квадрата равна x. Из подобия получаем 

(10–x)/x = 10/15, 
150–15x = 10x, 
25x = 150, 
x = 6. 

Площадь = 36 (м²).

См. рисунок.  1
Треугольник КВТ подобен треугольнику АКМ по двум углам:
[tex]\angle KAC=\angle BKT, [/tex]
как  соответственные углы  при параллельных прямых КТ и АС и секущей АВ.
[tex]\angle AKM=\angle KBT[/tex]
как соответственные при параллельных прямых КМ и ВС и секущей АВ.
Из подобия треугольников:
[tex] \frac{15-x}{x} = \frac{x}{10-x} , \\ 150-10x-15x+ x^{2} = x^{2} , \\ 25x=150, \\ x=6[/tex]

Ответ. S=36 кв.см