В тетраэдре DABC точка M-середина AD,P принадлежит DC и DP\PC=1\2. Постройте сечение тетраэдра плоскостью проходящей через точек M и P и параллельной BC. Найдите площадь сечения, если все ребра тетраэдра равны а.

Ответ:

[tex]S_{MKP}=\dfrac{a^{2}\sqrt{6}}{36}[/tex]

Объяснение:

Проведем РК║ВС в грани DBC. Соединим точки М и К.

Сечение МКР проходит через точки М и Р.

РК║ВС по построению, значит ВС║(МКР) по признаку параллельности прямой и плоскости.

МКР - искомое сечение.

По условию, все ребра тетраэдра равны а, значит, все грани - равносторонние треугольники.

В ΔDBC прямая РК, параллельная стороне треугольника, отсекает треугольник, подобный данному, т.е.

ΔDBC ~ ΔDKP, значит

[tex]\dfrac{PK}{BC}=\dfrac{DP}{DC}[/tex]

По условию: [tex]\dfrac{DP}{PC}=\dfrac{1}{2}[/tex], значит

[tex]\dfrac{DP}{DC}=\dfrac{1}{3}[/tex]

[tex]\dfrac{PK}{a}=\dfrac{1}{3}[/tex]

[tex]PK=\dfrac{a}{3}[/tex]

ΔDPK - так же равносторонний, значит

[tex]DK=PK=\dfrac{a}{3}[/tex]

[tex]DM=\dfrac{a}{2}[/tex]

∠KDM = 60°

Из ΔDKM по теореме косинусов:

KM² = DK² + DM² - 2·DK·DM·cos∠KDM

[tex]KM^{2}=\dfrac{a^{2}}{9}+\dfrac{a^{2}}{4}-2\cdot \dfrac{a}{3}\cdot \dfrac{a}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{13a^{2}}{36}-\dfrac{a^{2}}{6}=\dfrac{7a^{2}}{36}[/tex]

ΔDMK = ΔDMP по двум сторонам и углу между ними (DM - общая, DK = DP, ∠KDM = ∠PDM = 60°), значит

РМ = КМ, ⇒  ΔМКР - равнобедренный.

Проведем МН - высоту и медиану.

[tex]KH=\dfrac{PK}{2}=\dfrac{a}{6}[/tex]

Из ΔКНМ по теореме Пифагора:

MH = √(KM² - KH²)

[tex]MH=\sqrt{\dfrac{7a^{2}}{36}-\dfrac{a^{2}}{36}}=\sqrt{\dfrac{6a^{2}}{36}}=\sqrt{\dfrac{a^{2}}{6}}=\dfrac{a}{\sqrt{6}}[/tex]

Площадь сечения:

[tex]S_{MKP}=\dfrac{1}{2}KP\cdot MH=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{a}{3}\cdot \dfrac{a}{\sqrt{6}}=\dfrac{a^{2}}{6\sqrt{6}}=\dfrac{a^{2}\sqrt{6}}{36}[/tex]