Найдите расстояние от точки до вершины угла в 60° которая лежит на расстояний a и b от сторон этого угла
Ответ
Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.
Расстояние от точки до прямой равно длине отрезка, проведенного перпендикулярно от точки к прямой.
Обозначим вершину угла В , расстояние от А до одной стороны АС=а, расстояние до другой стороны АD=b.
Сумма ∠С+∠D=2•90°=180°
Сумма углов четырехугольника 360°. ⇒∠ В+∡А=180°
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, его можно вписать в окружность.
Опишем эту окружность. Искомое расстояние - её диаметр, т.к. на АВ опираются вписанные углы, равные 90°
Соединим С и D.
Вершины ∆ АСD лежат на окружности, он - вписан в эту окружность.
Диаметр описанной около треугольника окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла.
Угол САD=180°-60°=120°
По т.косинусов СD²=AC²+AD²-2•AC•AD•cos120°
CD²=a²+b²-2ab•(-1/2)=a²+b²+ab
[tex]CD= \sqrt{ a^{2} + b^{2}+ab } \\
[/tex]
По т.синусов АВ=2R=CD:sin120°
[tex]AB=2 \sqrt{ \frac{ a^{2}+ b^{2} +ab }{3} } [/tex]