Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Покажите наглядно, как это свойство работает.

Есть три варианта расположения центрального угла относительно вписанного:
1) Центр окружности расположен внутри вписанного угла
2) Центр окружности расположен вне вписанного угла
3) Сторона вписанного угла совпадает с диаметром окружности.

Все три доказываются одинаково
Рассмотрим первый случай.
ΔAOB - равнобедренный, т.к. ОА и ОВ - радиусы окружности
Значит, ∠ВАО=∠АВО.
∠ВОD - внешний для угла ∠ВОА => ∠BOD=∠BAO+∠ABO = 2*∠BAO
То же самое для ΔАОС:
                       ∠DOC=2*∠OAC
Так как ∠ВАС=∠ВАО+∠ОАС  и ∠BOC=∠BOD+∠DOC  => ∠BOC=2*∠BAC