в правильной четырехугольной призме через диагональ основания и середину противолежащего бокового ребра проведено сечение .найдите площадь сечения ,если сторона основания 2 см а её высота 8 см

[tex]ABCDA_1B_1C_1D_1 - [/tex] правильная четырехугольная призма
[tex]BN=B_1N[/tex]
[tex]BB_1=8[/tex] см
[tex]AB=2[/tex] см
[tex]S_{ANC} -[/tex] ?

Правильная призма- это прямая призма,основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы - равные прямоугольники.

1)Построение:
[tex]AC, [/tex] так как [tex]AC[/tex] ⊂ [tex](ABC)[/tex]  и [tex]AC[/tex] ⊂ [tex](ANC)[/tex]
[tex]AN,[/tex] так как [tex]AN[/tex] ⊂ [tex](AB_1B)[/tex] и [tex]AN[/tex] ⊂ [tex](ANC)[/tex]
[tex]NC,[/tex] так как [tex]NC[/tex] ⊂ [tex](BB_1C)[/tex] и [tex]NC[/tex] ⊂ [tex](ANC)[/tex]
Таким образом, Δ [tex]ANC - [/tex] искомое сечение 
2) Найдём площадь этого сечения:
[tex]ABCD-[/tex] квадрат
[tex]AC[/tex] ∩ [tex]BD=O[/tex]
[tex]AB=BC=CD=AD=2[/tex] см
[tex]AC=BD[/tex] ( как диагонали квадрата)
[tex]d=a \sqrt{2} [/tex]
[tex]BD=2 \sqrt{2} [/tex] см
Δ [tex]ANB=[/tex] Δ [tex]CNB[/tex] ( по двум катетам) ⇒ [tex]AN=NC[/tex]
Δ [tex]ANC-[/tex] равнобедренный
[tex]NO[/tex] ⊥ [tex]AC[/tex]
[tex]S_{зANC}= \frac{1}{2} AC*NO[/tex]
[tex]BO=OD[/tex]
                                                 ⇒ [tex]NO-[/tex] средняя линия Δ [tex]BB_1D[/tex]
[tex]B_1N=BN[/tex] (по условию)  

Δ [tex]BB_1D-[/tex] прямоугольный
по теореме Пифагора найдем [tex]B_1D:[/tex]
[tex]B_1D= \sqrt{BB_1^2+BD^2} = \sqrt{8^2+(2 \sqrt{2})^2 } = \sqrt{64+8}= \sqrt{72}=6 \sqrt{2} [/tex] см
[tex]NO= \frac{1}{2} B_1D= \frac{1}{2} *6 \sqrt{2}=3 \sqrt{2} [/tex] см

[tex]S_{зANC}= \frac{1}{2} AC*NO= \frac{1}{2} *2 \sqrt{2} *3 \sqrt{2} =6[/tex] cм²

Ответ: 6 см²