В четырёхугольниках АВСД и А1В1С1Д1, диагонали пересекаются в точках О и О1, причём АО=ОС, А1О1=О1С1, угол АОД = углу А1О1Д1, Угол АДО = углу А1Д1О1 и угол АВО= углу А1В1О1. Докажите, что треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1

∠АОВ=∠А1О1В1 как смежные к равным углам АОД и А1О1Д1.
Треугольники АОВ и А1О1В1 подобны т.к. ∠АОВ=∠А1О1В1 и ∠АВО=∠А1В1О1, значит АВ:А1В1=АО:А1О1=k. и ∠ВАО=∠В1А1О1.
АС=2·АО, А1А1=2·А1О1, значит АС:А1С1=АО:А1О1=k.
В треугольника АВС и А1В1С1 АВ:А1В1=АС:А1С1 и ∠ВАС=∠В1А1С1, значит они подобны по двум сторонам и углу между ними.
Доказано.

PS  Зачем здесь указано равенство углов АДО и А1Д1О1 - непонятно. Просто лишнее условие.

доказательство с чертежом