5. Один из катетов треугольника равно 6, а другой на 2 меньше гипотенузы.
Найдите площадь треугольника.​

Ответ:

AB=6 (катет 1)

AC=x (гиппотинуза)

BC=x-2 (катет 2)

Через Пифагора.

x^2=(x-2)^2+6^2

x^2=x^2-4x+4+36

4x=40

x=10 (AC)

BC=AC-2=8

S=AB*BC/2=6*8/2=24 см^2

Для нахождения площади прямоугольного треугольника используется следующая формула:

[tex]S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab,[/tex]

где [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] - катеты прямоугольного треугольника.

Нам известен один катет (6 см), значит, нужно найти другой. Поскольку катет на 2 меньше гипотенузы, то обозначим гипотенузу как [tex]x[/tex], а неизвестный катет как [tex]x-2[/tex] (см. изображение).

Для нахождения длины катета воспользуемся теоремой Пифагора:

[tex]c^2 = a^2 + b^2[/tex],

где [tex]c[/tex] - гипотенуза, а [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] - катеты.

Подставим известные значения:

[tex]x^2 = 6^2 + (x-2)^2[/tex]

Раскроем скобки и выразим икс:

[tex]x^2 = 36 + x^2 - 2x + 4\\x^2 = x^2 - 4x + 40\\4x = 40\\x = 10[/tex]

Мы нашли длину гипотенузы (т.к. обозначили её как [tex]x[/tex]). Чтобы найти катет, просто вычтем из полученного значения 2:

[tex]x-2 = 10-2 = 8[/tex]

Значит, катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8.

Теперь воспользуемся формулой нахождения площади (в самом начале):

[tex]S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}*6*8=\frac{48}{2} = 24[/tex]

Ответ: 24.