В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC=13 AC=10 найти расстояние от вершины B до
а) точки M пересечения медиан
б) точки О1 пересечения биссектрис
в) точки О пересечения серединных перпендикуляров сторон
г) точки H пересечения высот

Так как  треугольник  равнобедренный, то высота h к основанию является одновременно и медианой, и биссектрисой.
Поэтому все заданные точки лежат на этой высоте h.

а) точка M пересечения медиан.
Высота h равна √(11²-(14/2)²) = √121 - 49) = √72 = 6√2.
Точка M пересечения медиан находится на расстоянии (2/3)h от вершины В: ВМ = (2/3)*6√2 = 4√2 ≈  5,65685.

б) точка О1 пересечения биссектрис.
Тангенс угла А равен: tg A = 6√2/7.
Тангенс половинного угла равен:
tg(A/2) = tgA/(1+√(1+tg²A)) = (6√2/7)/(1+√(1+(72/49))) = √2/3.
Искомое расстояние ВО1 = 6√2-(7*(√2/3)) = 11√2/3 ≈  5,18545.

в) точка О пересечения серединных перпендикуляров сторон.
Это расстояние равно:
ВО = 5,5/cos (B/2) = 5,5/(6√2/11) = 60,5/(6√2) = 121/(12√2) ≈  7,129993.

г) точка H пересечения высот.
ВН находим  из подобия взаимно перпендикулярных треугольников АНД и ВДС: ВН = 6√2-(7*(7/6√2)) = 23/(6√2) ≈ 2,710576.
(точка Д - середина основания АС).

Высоту BH найдём из прямоугольного треугольника BHC, где HC = 5 (1/2 AC), а BC по условию = 13.
BH^2 = BC^2 - HC^2
BH^2 = 169 - 25 = 144
BH = 12 (высота)
Медиана = высота = биссектриса (опущена на основание РБ треугольника), значит BM = 1/2BH = 6