определите значение а, при которых уравнение Х^3+6X^2+ах=0 имеет два корня. найдите эти корни

[tex] x^3 + 6x^2 + a x = 0 \ ; [/tex]

[tex] x ( x^2 + 6x + a ) = 0 \ ; [/tex]


Итак, ясно что данное уравнение всегда имеет один корень    [tex] x = 0 \ . [/tex]

Значит, нужно найти условие, когда:

1) либо один (и только один) из двух разных корней квадратного уравнения    [tex] x^2 + 6x + a = 0 \ [/tex]    тоже будет равен нулю,

2) либо квадратное уравнение:    [tex] x^2 + 6x + a = 0 \ [/tex]
будет иметь ровно один корень.


1*) При подстановке в квадратное уравнение    [tex] x = 0 \ , [/tex] получаем, что    [tex] 0^2 + 6 \cdot 0 + a = 0 \ , [/tex]    это верное только при    [tex] a = 0 \ . [/tex]

В самом деле, уравнение:    [tex] x^3 + 6x^2 + 0 \cdot x = 0 \ ; \Rightarrow \ x^2 ( x + 6 ) = 0 \ ; [/tex]    имеет как раз два корня    [tex] x \in \{ -6 , 0 \} \ . [/tex]


2*) квадратное уравнение:    [tex] x^2 + 6x + a = 0 \ [/tex]    имеет ровно один корень, когда его дискриминант равен нулю, т.е.:

[tex] \frac{D}{4} = 3^2 - a = 0 \ ; \ \Rightarrow \ a = 9 \ ; [/tex]

В самом деле, уравнение:    [tex] x^3 + 6x^2 + 9x = 0 \ ; \Rightarrow \ x ( x^2 + 6x + 9 ) = 0 \ ; [/tex]    имеет как раз два корня    [tex] x \in \{ -3 , 0 \} \ . [/tex]


О т в е т :    [tex] ( \ a \ ; \ x_1 ; x_2 \ ) \in \ \{ \ ( \ 0 \ ; \ -6 ; 0 \ ) \ , \ ( \ 9 \ ; \ -3 ; 0 \ ) \ \} \ . [/tex]