Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Найти общее решение:
[tex]x^{2} * y' = 2xy - 3[/tex]

[tex] y'x^2 = 2xy - 3 \ ; [/tex]


Решим соответствующее однородное уравнение:

[tex] x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy \ ; [/tex]

[tex] \frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x} \ ; [/tex]

[tex] \int{ \frac{dy}{y} } = 2 \int{ \frac{dx}{x} } \ ; [/tex]

[tex] \ln{|y|} = 2 \ln{|x|} + C_1 \ ; [/tex]

[tex] \ln{|y|} = \ln{ ( C|x|^2 ) } \ ; [/tex]

[tex] |y| = Cx^2 \ ; [/tex]

[tex] y = Cx^2 \ ; [/tex]


Введём вместо константы C функцию f(x):

[tex] y = x^2 f(x) \ ; [/tex]

[tex] y' = 2x f(x) + x^2 f'(x) \ ; [/tex]


Подставим эти выражения в исходное неоднородное дифф.уравнение:

[tex] x^2 ( 2x f(x) + x^2 f'(x) ) = 2x \cdot x^2 f(x) - 3 \ ; [/tex]

[tex] 2x^3 f(x) + x^4 f'(x) = 2x^3 f(x) - 3 \ ; [/tex]

[tex] x^4 f'(x) = - 3 \ ; [/tex]

[tex] f'(x) = - \frac{3}{x^4} \ ; [/tex]

[tex] f(x) = \int{ f'(x) } \, dx = - \int{ \frac{3}{x^4} } \, dx = - \int{ 3x^{-4} } \, dx = x^{-3} + C = \frac{1}{x^3} + C \ ; [/tex]


Тогда общим решением исходного
неоднородного дифференциального уравнения будет:

[tex] y = x^2 f(x) = x^2 ( \frac{1}{x^3} + C ) = \frac{1}{x} + Cx^2 \ ; [/tex]




О т в е т :    [tex] y = \frac{1}{x} + Cx^2 \ . [/tex]