Несколько мудрецов построились в колонну. На всех были либо Черные либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белым и чёрным колпаками , а среди любых 12 подряд идущих- не поровну. Какое наибольшее число мудрецов могло быть?

15. 
1 колпак такого же цвета, что 11. 2 = 12. 3 = 13. и т.д. иначе не будет выполняться условие для 10 подряд идущих мудрецов.
1 колпак того же цвета, что и второй иначе, не выполниться 2 условие. 2 того же цвета что и 3, и так далее. 
получается что первые 5 колпаков 1 цвета, а следующие 5 другого. (иначе, если 6 колпак был бы первого цвета, то 1 условие бы не выполнилось).
итого: первых 5 колпаков - одного цвета, вторые 5 - другого, третьи 5 - первого цвета. перебором доказываем, что 16 колпак невозможен. следовательно ответ - 15