При
каких значениях параметра a корни уравнения /x-5/=[tex]a^{2} [/tex] +1 имеют одинаковые знаки.

[tex]|x-5|=a^2+1\\ [/tex]
возведем обе части в квадрат 
 [tex]x^2-10x+25=a^4+2a^2+1\\ x^2-10x+24-a^4-2a^2=0\\ [/tex]
 тогда по теореме Виета         [tex]x_{1}+x_{2}=10\\ x_{1}x_{2}=24-a^4-2a^2\\\\ 1)24-a^4-2a^2>0\\ 2)24-a^4-2a^2<0\\\\ a^2=t\\ 1)-t^2-2t+24>0\\ D=4+4*1*24=10^2\\ t=-6\\ t=4\\ a=2;-2\\ (-2;2) \\\\ [/tex]   
 Ответ    при [tex] a \ (-2;2)[/tex]