из листового железа изготовили бак цилиндрической формы (без крышки) вместимостью V с наименьшей затратой металла. Каковы размеры бака?

Пусть радиус основания равен R. Тогда, так как объем находится по формуле V = pi * R^2 * H, то H = V / (pi R^2).

Площадь бака равна S = pi R^2 + 2 pi R H (одна круглая крышка и боковая поверхность).

Необходимо, чтобы площадь была минимальна.

S = pi R^2 + 2 pi R H  = pi R^2 + 2 V / R -> min

Находим производную S'(R):

S'(R) = 2 pi R - 2 V / R^2

Находим нули производной:

2 pi R - 2V / R^2 = 0
R^3 = V / pi
R = (V / pi)^(1/3)

При 0 < R < (V / pi)^(1/3) производная S(R) < 0; при R > (V / pi)^(1/3) производная S(R) > 0. Поэтому в точке R = (V/pi)^(1/3) достигается минимум.

При этом R высота H равна 
H = V / (pi R^2) = V / pi * (pi / V)^(2/3) = (V / pi)^(1/3)