В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а , высота h. Найти плоский угол при вершине пирамиды, угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Дана пирамида АВСД. Сторона основания а, высота h.

Высота основания АЕ = а√3/2.
Проекция ОЕ апофемы А на основание равна (1/3)АЕ = а√3/6. 
Найдём апофему А:
А = √(h² + ОЕ²) = √(h² + 3a²/36) = √(12h² + a²)/(2√3) = (√(36h² + 3a²))/6.
Теперь можно найти плоский угол α при вершине пирамиды:
α = 2arc tg((a/2)/A) = 2arc tg (3a/√(36h² + 3a²).
Плоский угол β между боковой гранью и плоскостью основания равен:
β = arc tg(h/OE) = arc tg(h/(а√3/6) = arc tg(2√3h)/a.