Исследовать функцию и построить график
y=-x^4+4x+3

1) Функция определена на всей числовой прямой х∈R

2) Проверим четность 
[tex]y(-x) = -(-x)^4+4(-x)+3 = -x^4 - 4x +3[/tex]

Так как [tex]y(-x) \neq -y(x) [/tex]  и  [tex]y(-x) \neq y(x)[/tex]
то функция не является четно и нечетной. Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осью Оу: х = 0

[tex]y = -0^4+4*0+3 = 3[/tex]

т.е. точка А(0; 3)
 
4) Найдем производную
[tex]y' = (-x^4+4x+3)' = -4x^3+4[/tex]

5) Найдем точке экстремума y' = 0
[tex]-4x^3+4 = 0 \\ \\ x^3 = 1 \\ \\ x= 1[/tex]
Получилась одна критическая точка 

6) Найдем значение производной слева и справа от 1
[tex]y'(0) = -4*0^3+4 = 4 \ ; \ y'(0) \ \textgreater \ 0[/tex]
до х=1 функция возрастает

[tex]y'(2) = -4*2^3+4 = -28 \ ; \ y'(0) \ \textless \ 0[/tex]
после х=1 функция убывает

Производная меняет знак с "+" на "-"  - значит х=1 точка максимума

7) Построим график функции. Данные для построение и сам график, представлены ниже