составить уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности 2x^2+3y^2+4z^2-x^2y-y^3-3z^3-4=0 в точке Mo(1,1,1)

[tex]F(x,y,z)=2x^2+3y^2+4z^2-x^2y-y^3-3z^3-4[/tex]

Уравнение касательной в общем виде:
   [tex]z-z_0= \dfrac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)\cdot (x-x_0)+ \dfrac{\partial z}{\partial y} (x_0,y_0,z_0)\cdot (y-y_0)[/tex]

Заданная функция является неявным, значит частные производные будем искать таким образом:

[tex] \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =- \frac{ \frac{\partial F}{\partial x} }{ \frac{\partial F}{\partial z} } =- \frac{4x-2xy}{8z-9z^2} \\ \\ \\ \frac{\partial z}{\partial y} =- \frac{ \frac{\partial F}{\partial y} }{ \frac{\partial F}{\partial z} } =- \frac{6y-3y^2-x^2}{8z-9z^2} [/tex]

Посчитаем значения частных производных в точке M0

[tex]\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} (x_0,y_0,z_0)= -\frac{4\cdot 1-2\cdot1\cdot 1}{8\cdot 1-9\cdot1^2} =2\\ \\ \\ \frac{\partial z}{\partial y} (x_0,y_0,z_0)=- \frac{6\cdot1-3\cdot 1^2-1^2}{8\cdot 1-9\cdot1^2} =2[/tex]

Теперь осталось подставить в общий вид касательной

[tex]z-1=2(x-1)+2(y-1)\\ \\ \boxed{2x+2y-z-3=0}[/tex]

Уравнение нормали в общем виде:
  [tex]\displaystyle \frac{x-x_0}{ \frac{\partial z}{\partial x}(x_0,y_0,z_0) } = \frac{y-y_0}{ \frac{\partial z}{\partial y}(x_0,y_0,z_0) } = \frac{z-z_0}{-1} [/tex]

тогда уравнение нормали нашей плоскости

[tex]\boxed{ \frac{x-1}{2}= \frac{y-1}{2}=1-z }[/tex]