При каком значении параметра Е векторы α, β и с компланарны? Желательно подробное решение

α = (–2; 6; –5), β = (5; 6; 3), с = (–6; –8; α).

Ответ: Е =

условие компланарности α, β и с:
[tex]c = mα+nβ\\ (x_c;y_c;z_c) = \\ = m (x_ \alpha ;y_ \alpha ;z_ \alpha ) + n(x_ \beta ;y_ \beta ;z_ \beta ) = \\ = (mx_ \alpha + nx_ \beta \: ;my_ \alpha + y_ \beta \: ;mz_ \alpha + nz_ \beta \:)[/tex]
распишем покоординатно,
учитывая, что
α = (–2; 6; –5), β = (5; 6; 3), с = (–6; –8; Е).

-2m+5n=-6
6m+6n=-8
-5m+3n=Е

из первых двух уравнений следует
система:

[tex]
\left \{ {{-2m+5n=-6} \atop {6m+6n=-8}} \right. \\ \left \{ {{-6m+15n=-18} \atop {6m+6n=-8}} \right. \\ 21n = - 26 \\ n = - \frac{26}{21} = - 1 \frac{5}{21} \\ m = 2.5n + 3 \\ m = \frac{5}{2} \cdot ( - \frac{26}{21})
+ 3 = \\ = \frac{ - 65 + 63}{21} = - \frac{2}{21}

[/tex]
поэтому
[tex]E = -5m+3n= \\ = - 5 \cdot ( - \frac{2}{21} ) + 3( - \frac{26}{21} ) = \\ = \frac{10 - 78}{21} = - \frac{68}{21 } = - 3 \frac{5}{21} [/tex]
Ответ
[tex] E = - 3 \frac{5}{21} \\ [/tex]