В треугольнике АВС проведены биссектрисы АЕ и СМ, АВ=ВС, АС=12см,АМ= 5 см. Периметр треугольника АВС равен 28 см. Найдите АЕ.

По заданию треугольник АВС равнобедренный, с основанием 12 см.
Боковые стороны равны по (28 - 12)/2 = 16/2 = 8 см.
Требуется найти биссектрису АЕ.
Для этого есть 2 решения:
 1) - применить готовую формулу,
 2) - найти отрезок ЕС и использовать теорему косинусов.

1) [tex] \beta _a= \frac{2}{b+c} \sqrt{bcp(p-a)} = \frac{2}{12+8} \sqrt{12*8*14*6} = \frac{2}{20} \sqrt{8064} =[/tex]0,1*24√14 ≈  8,979978.

2) Используем свойство биссектрисы.
ЕС/АС = ВЕ/АВ,
ЕС/12 = (8 - ЕС)/8,
8ЕС = 96 - 12 ЕС,
20ЕС = 96,
ЕС = 96/20 = 4,8 см.
Теперь по теореме косинусов:
АЕ = (12² + 4,8² - 2*12*4,8*cosC).
cos C = (12/2)/8 = 6/8 = 3/4.
Тогда АЕ = (144 + (576/25) - 24*(24/5)*(3/4)) = √2016/5 = 12√14/5 ≈  8,979978.