Как найти область определения выражения?

Область определения выражения - это множество значений, при которых данное выражение имеет смысл.  Другими словами, это те значения х, которые можно подставить в данное выражение.

Искать область определения лучше всего методом исключения - отбрасывая все значения, при которых выражение теряет математический смысл.

1) Если в выражении есть знаменатель с переменной, то знаменатель не равен 0.

Пример:

[tex]\frac{x^{2} -8x+3}{x-1}[/tex]

[tex]x-1\neq 0\\ \\ x\neq 1[/tex]

Область определения:

x∈(-∞; 1)∪(1;+∞)

2) Логарифмическое выражение. Основание логарифма определено при a>0 за исключением a=1. Выражение под знаком логарифма должно быть больше нуля.

Пример:

[tex]log_x(x^{2} +3x+2)[/tex]

[tex]x>0\\\\x\neq 1\\\\x^{2} +3x+2>0\\ \\ \\(x+2)(x+1)>0[/tex]

x∈(0; 1)∪(1; +∞)

3) Иррациональные выражения четной степени. Подкоренное выражение должно быть ≥0.

Пример:

[tex]\sqrt[4]{x+10}[/tex]

[tex]x+10\geq 0 \\ \\x\geq -10[/tex]

x∈[-10; +∞)

Также бывают более сложные и комбинированные выражения. При нахождении области определения всего выражения необходимо учесть все моменты, которые могут привести к ограничению этой области.

Пример:

[tex]\frac{\sqrt{x^{2}-2x-35}}{x+5}[/tex]

[tex]\left \{ {x^{2}-2x-35\geq 0  \atop {x+5\neq 0}} \right. \\ \\ \left \{ {(x+5)(x-7)\geq 0  \atop {x\neq -5}} \right.[/tex]

x∈(-∞; 5)∪[7; +∞)