Найти интервалы впуклости и выпуклости графика функции и его точки перегиба.
[tex]y= x^{2} lnx[/tex]

Дана функция [tex] x^{2} ln(x).[/tex]
Найдём её производную.
Решение. f′(x)=(x²⋅ln(x))′=(x²)′⋅ln(x)+x²⋅(ln(x))′=2⋅x⋅ln(x)+x²/x.
Ответ:f′(x)=2⋅x⋅ln(x)+x.

Теперь находим вторую производную от заданной функции или производную от производной функции f(x)=2⋅x⋅ln(x)+x
Решение.f′(x)=(2⋅x⋅ln(x)+x)′=(2⋅x⋅ln(x))′+1=(2⋅x)′⋅ln(x)+2⋅x⋅(ln(x))′+1=2x⋅ln(x)+(2⋅x/x)+1
Ответ: f′(x)=2⋅ln(x)+3.

Точку перегиба а также интервалы вогнутости и выпуклости графика функции определяем, приравняв вторую производную нулю.
2⋅ln(x)+3 = 0,
ln(x) = -3/2.
Такое уравнение равносильно [tex]x=e^{- \frac{3}{2} }[/tex] или 
[tex]x= \frac{1}{e^{ \frac{3}{2} }} .[/tex]
Можно найти приближённое значение переменной в точке перегиба:
х =  0,2231302.