найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x) на данном промежутке f(x)=x^5-5x^4+5x^3+2 , [-1;2]

Вычислим значения функции в критических точках, для этого найдем производную: [tex]f'(x)=5x^{4} -20 x^{3} +15 x^{2} =5 x^{2} ( x^{2} -4x+3)=0[/tex] Уравнение имеет три корня: [tex]5x^{2}=0[/tex]⇒[tex]x=0[/tex]. Это первый корень, два других находим из квадратного уравнения: [tex] x^{2} -4x+3=0[/tex]. Дискриминант здесь равен: [tex] D=(-4)^{2} -4*1*3=4[/tex]; [tex] x_{2} = \frac{4-2}{2} =1[/tex] [tex] x_{3} = \frac{4+2}{2} =3[/tex] Из трёх критических точек, заданному отрезку принадлежат только две [tex] x_{1} = 0[/tex] и [tex] x_{2} = 1[/tex], а [tex] x_{3} = 3[/tex] ∉[-1;2]. Находим значения функций в точках [tex] x_{1} , x_{2} [/tex]. [tex] f(0)=0-5*0+5*0+2=2[/tex]; [tex] f(1)=1-5+5+2=3[/tex]. Вычислим значения функции на концах отрезка: [tex] f(-1)=-1-5*1+5(-1)+2=-9[/tex]; [tex] f(2)= 2^{5} -5* 2^{4} +5*2^{3} +2=32-80+40+2=-6[/tex] Из всех полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее. Ими оказались [tex] f(-1)=-9[/tex] - наименьшее, а [tex] f(1)=3[/tex] - наибольшее.