Диаметр шара равен 4р. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45º к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Ответ:

2·π·p² кв. единица

Пошаговое объяснение:

Пусть через конец диаметра проведена плоскость α под углом ∠OBC=45º (также ∠OAC=45º, см. рисунок). Диаметр шара равен 4·p, откуда следует, что радиус шара OB =2·p (также OA =2·p).

При пересечении шара и плоскости α образуется круг радиуса CВ. Тогда площадь этого круга равна S=π·CB².

Определим радиус CB следующим образом. Так как ∠OBC=∠OAC=45º, то треугольник ABO, образованный из радиусов шара OB, OA и диаметром круга, прямоугольный с прямым углом ∠AOB:

∠AOB=180° - ∠OBC - ∠OAC = 180° - 45° - 45° = 90°.

Поэтому, по теореме Пифагора

AB²=OA²+OB²=(2·p)²+(2·p)²=4·p²+4·p²=8·p².

 Но CB²=(AB/2)²=AB²/4=8·p²/4=2·p², и поэтому

S=π·CB²=π·2·p²=2·π·p² кв. единица.