y=1/1-x^2 Помогите исследовать функцию и построить график
Ответ
1) Область определения функции
[tex]1- x^{2} \neq 0 \\ x \neq \pm 1[/tex]
2) Точки пересечения графика функции с осью OY
[tex]y (0) = \frac{1}{1- 0^{2}} = 1[/tex] точка пересечение (0; 1)
3) Исследуем функции на четность
[tex]y(-x) = \frac{1}{1- (-x)^{2}} = \frac{1}{1- x^{2}} [/tex]
Так как [tex]f(-x) = f(x) [/tex] , то функция является четной
4) Функция имеет две точки разрыва -1 и 1 , поэтому график функции имеет две вертикальные асимптоты х =-1 и х =1.
Найдем
наклонные асимптоты [tex]y = k*x + b[/tex] , где
[tex]k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{x(1-x^2)} = \frac{1}{ \infty} = 0[/tex]
Так как k=0, то наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные.
Найдем теперь коэффициент b.
[tex]b= \lim_{x \to \infty} [f(x)-kx] = \frac{1}{1- x^{2}} = \frac{1}{ \infty} = 0 [/tex]
Подставляем найденные коэффициенты в формулу y = kx + b, получаем, что y = 0 - горизонтальная асимптота.
5) Найдем экстремумы функции. Для это найдем производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0
[tex]y' = (\frac{1}{1- x^{2}})' = \frac{1' * (1- x^{2} ) - 1*(1-x^2)'}{(1- x^{2} )'} = \frac{2x}{(1-x^2)^2} [/tex]
Тогда
[tex]\frac{2x}{(1-x^2)^2} = 0 \ \Rightarrow \ x =0[/tex]
Получилась одна критическая точка.
6) Найденные точки разрыва и точки экстремума, разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной (у') на каждом интервале.
x x<-1 -1<x<0 0 0<x<1 x>1
y' - - 0 + +
y убыв. убыв. 1 воз. воз.
В точке экстремума (х=0) производная меняет знак с "-" на "+" значит это точка минимума.
7) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную
[tex]y'' = ( \frac{2x}{(1- x^{2} )^2} )' = \frac{2(1- x^{2} )+8 x^{2} }{(1- x^{2} )^3} = \frac{2+6 x^{2} }{(1- x^{2} )^3}[/tex]
Решаем методом интервалов
[tex]\frac{2+6 x^{2} }{(1- x^{2} )^3} =0[/tex]
[tex]2(1- x^{2} )+8 x^{2} = 0 \ \bigcup \ }{(1- x^{2} )^3 \neq 0[/tex]
Корней нет, значит точек перегиба нет и [tex]x \neq \pm1[/tex]
Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки , в нашем случае это точки –1; 0 ; 1.
Методом интервалов определяем знаки [tex]f''(x)[/tex] на полученных интервалах.
Интервал X < -1 ,
f''(x) = "–" < 0 - график функции является выпуклым на данном интервале;
Интервал – 1 < X < 1 ,
f''(x) = "+" > 0 - график функции является вогнутым на данном интервале;
Интервал X > 1 ,
f''(x) = "–" < 0 - график функции является выпуклым на данном интервале;
8) Построим график функции. Данные для построения и сам график, представлены ниже