в треугольнике ABC сторона AB=10 сторона BC=15 проведена биссектриса BM. Из точки M провелена линия параллельно стороне AB где K принадлежит BC. найти KC

Тут вся соль в том, что 
AB/BC =(свойство биссектрисы) = AM/MC = (из за MK II AB) = BK/KC;
Пусть точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника на отрезки x y z, так, что
x + y = AB; (надо найти)
x + z = AC = 17;
y + z = BC = 12; 
Из первой цепочки равенств следует, что
(x + y)/(y + z) = y/z; или xz = y^2; если подставить  x = 17 - z; y = 12 - z; получится квадратное уравнение (12 - z)^2 = (17 - z)z; или
2z^2 - 41z + 144 = 0; откуда z1 = 16; z2 = 9/2;
Ясно, что z < 12; поэтому остается корень z = 9/2; 
x + y + 2z = 17 + 12 = 29; откуда x + y = 20;
AB =20;