На доске написаны многочлены х+2и 2х+1. Разрешается записать сумму, разность или произведение любых двух из уже написанных многочленов. Может ли на доске появиться многочлен 2х куб +х+5?

Подставим х=1. Первый многочлен равен 1+2=3, второй тоже 2×1+1=3. На доске должен появиться многочлен, примущий вид: 2×1^3+1+5=8.
Когда мы будем производить вычетание, сложение или умножение существуюших многочленов (первые многочлены это 3), то будут появляться многочлены делящиеся на 3. Но 8 не делится на 3, значит такой многочлен не мог получиться.