найти двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией [tex] y^{2} = x^{2} - x^{4} , x \geq 0[/tex]

найти двойным интегрированием центр масс однородной плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией

Вспомним как находятся координаты точки центра масс:

[tex]x_0= \frac{ \int\limits \int\limits{x} dxdy }{S} [/tex]

[tex]y_0= \frac{ \int\limits \int\limits {y}dx dy }{S} [/tex]

Где S- площадь фигуры

Построим график функции : [tex]y=+/- \sqrt{x^2-x^4} [/tex]
(смотри приложение к решению)

Найдем нули функции: y=0 при х=0, х=1, х=-1
Нас интересует только та часть графика где х≥0

Итак, найдем площадь фигуры. где 0≤х≤1

[tex] \int\limits^1_0 dx( \int\limits^{x \sqrt{1-x^2}}_{-x \sqrt{1-x^2}} dy)= \int\limits^1_0 dx(x \sqrt{1-x^2-(-x \sqrt{1-x^2}) })=[/tex]

[tex]= \int\limits^1_0 {2x \sqrt{1-x^2}} \, dx =2 \int\limits^1_0 {x \sqrt{1-x^2} } \, dx= [/tex]

сделаем замену: [tex]1-x^2=t -2xdx=dt xdx=-dt/2[/tex] при этом границы интегрирования поменяются местами. 

[tex]=2 \int\limits^0_1 {- \frac{1}{2} \sqrt{t} \, dt=- \int\limits^0_1 { \sqrt{t}} \, dt= \int\limits^1_0 { \sqrt{t}} \, dt = \frac{2}{3}t^{3/2}|_0^1= \frac{2}{3} [/tex]

Итак площадь фигуры 2/3

Найдем ординату:

[tex] \int\limits \int\limits {x}dxdy= \int\limits^1_0 {x}dx \int\limits^{x \sqrt{1-x^2}}_{-x \sqrt{1-x^2}} dy= \int\limits^1_0 {x(x \sqrt{1-x^2}+x \sqrt{1-x^2}}) \, dx= [/tex]

[tex]=2 \int\limits^1_0 {x^2 \sqrt{1-x^2} } \, dx= [/tex]

сделаем замену:

[tex]x=Sint dx=Costdt 1-x^2=Cos^2t[/tex]

Границы  интегрирования 0≤t≤π/2

[tex]=2 \int\limits^{ \pi /2}_0 {Sin^2tCost \sqrt{Cos^2t}} \, dt =2 \int\limits^{ \pi /2}_0 {(Sin^2tCos^2t}) \, dt= [/tex]

[tex]=2 \int\limits^{ \pi /2}_0 { \frac{1}{4}Sin^22t} \, dt= \frac{1}{2} \int\limits^{ \pi /2}_0 {Sin^22t} \, dt= [/tex]

сделаем еще раз замену:

[tex]2t=a 2dt=da[/tex]

границы интегрирования 0≤a≤π

[tex]= \frac{1}{2} \int\limits^ \pi _0 { \frac{1}{2}Sin^2a} \, da= \frac{1}{4} \int\limits^ \pi _0 { \frac{1-Cos2a}{2}} \, da= \frac{1}{8} \int\limits^ \pi _0 {1-Cos^a} \, da= [/tex]

[tex]= \frac{1}{8}( \int\limits^ \pi _0 da- \int\limits^ \pi _0 {Cos2a} \, da= [/tex]

и последняя замена: [tex]2a=s; 2da=ds[/tex]

[tex]= \frac{1}{8} \int\limits^ \pi _0 {da} - \frac{1}{8} \int\limits^{2 \pi} _0 \frac{1}{2} {Cos s} ds= \frac{1}{8}a|_0^{ \pi } - \frac{1}{16}Sin s|_0^{2 \pi }= [/tex]

[tex]= \frac{1}{8}( \pi -0)- \frac{1}{16}(Sin {2 \pi }-Sin 0)= \frac{1}{8} \pi [/tex]

Таким образом ордината точки: 

[tex]x_0= \frac{ \pi }{8}: \frac{2}{3}= \frac{3 \pi }{16} [/tex]

Найдем абсциссу, т. е. y₀

[tex] \int\limits \int\limits{y}dxdy= \int\limits^1_0 {dx} \int\limits^{x \sqrt{1-x^2} }_{-x \sqrt{1-x^2}} ydy= \int\limits^1_0 dx \frac{y^2}{2}|_{-x \sqrt{1-x^2} }^{x \sqrt{1-x^2} }= [/tex]

[tex]= \frac{1}{2} \int\limits^1_0 {(x^2-x^4)-(x^2-x^4)}\, dx=0 [/tex]

Таким образом абсцисса точки: 

[tex]y_0=0: \frac{2}{3}=0 [/tex]


центр масс [tex]( \frac{3 \pi }{16};0) [/tex]