Наступает 2017-й. А какая последняя цифра у числа 2^17 (в семнадцатой степени)?

[tex]2^1=2\\2^2=4\\2^3=8\\2^4=16\\2^5=32\\2^6=64\\2^7=128\\2^8=256\\2^9=512\\2^{10}=1024[/tex]
заметил закономерность? 
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6 и так далее. Выходит, мы должны посчитать, какая цифра будет семнадцатой. 2, 4, 8, 6 – 4 цифры, значит шестнадцатая цифра будет точно равна шести. Цифра, идущая следом за шестёркой, это начало цепочки (2, 4, 8, 6), то бишь двойка. 

Ответ: 2. 

[tex]2017 [/tex] - нечётное число.

Посмотрим на следующие числа:

[tex]2^{1}=2\\\\2^{3}=8\\\\2^{5}=32\\\\2^{7}=128[/tex]

Т.е. всегда при нечётной степени, последняя цифра будет равна либо 2 либо 8.

Осталось найти конечную цифру у [tex]2^{2017}[/tex].

Сделаем так:

Что такое 1? [tex]1=2\cdot 0+1 [/tex] - 0 чётное число. [tex]2^1=2[/tex].
Что такое 3? [tex]3=2\cdot 1+1[/tex] - 1 нечётное число. [tex]2^3=8[/tex]
Что такое 5? [tex]5=2\cdot 2+1[/tex] - 2 чётное число. [tex]2^5=32[/tex]
Что такое 7? [tex]7=2\cdot 3+1[/tex] - 3 нечётное число. [tex]2^7=128[/tex]

Следовательно, если в представлении нечётной степени ([tex]2n+1[/tex])- [tex]n[/tex] чётно, то [tex]2^{2n+1}[/tex] будет оканчиваться на 2. Если нечётно, то будет оканчиваться на 8.

[tex]2017=2n+1 \Rightarrow n=2016:2 \Rightarrow n=1008[/tex] - следовательно [tex]2^{2017}[/tex] оканчивается на 2.