вычислить сумму 5+6+7+...+53+54

Это ряд, где  [tex] a_{1}=5 [/tex], а [tex] a_{n} =54[/tex], [tex]d= a_{1} - a_{2} =6-5=1[/tex];
[tex] a_{n} = a_{1} +d(n-1)[/tex];
54 = 5 + 1*n - 1; n = 54 -5 + 1 = 50; 
[tex]S=( a_{1} + a_{n} )*n/2 [/tex] = (5 + 54)*50/2 = 59*25 = 1475

Решение для категории 1-4.
Нам дана сумма последовательных чисел натурального ряда от 5 до 54 ВКЛЮЧИТЕЛЬНО. 
Их у нас: 54 - 5 + 1 = 50 (последнее число прибавляем, так как оно ТОЖЕ СЧИТАЕТСЯ).  
Видно, что если брать сумму первого и последнего чисел, то она равна сумме второго и предпоследнего.  И так далее, если, двигаясь к центру, суммировать с противоположных концов равноудаленные от центра числа, мы будем получать 59. 
Каждая пара дает: 5 + 54= 59; 
Таких пар: 50 : 2 = 25;
Тогда общая сумма будет: 59 * 25 = 1475

Ответ:  5 + 6 + 7 + ... + 53 + 54 = 1475