y'=1+x-y/x при начальных условиях y(1)=4

y'=y/x+sin(y/x)
это однородное уравнение. Пусть y=tx => y’=t’x+t
t’x+t=t+sint => dt/sint=dx/x
∫dt/sint=∫dx/x => ln|tg(t/2)|=ln|x|+C => tg(t/2)=Cx
tg(y/2x)=Cx
Подставляем начальное условие и находим С.
tg(π/4)=C=1.
Тогда искомое частное решение
tg(y/2x)=x => y/2x=arctgx => y=2x•arctgx