[tex] \lim_{x \to \ -oo} (arcctg(x) - \pi )/sin(1/x)[/tex]

Воспользуемся правилом Лопиталя:
[tex]\lim_{x \to -\infty} \frac{arctg(x)-\pi}{sin(1/x)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1/(1+x^2)}{cos(1/x)(-1/x^2)} = -\lim \frac{x^2}{(1+x^2) cos(1/x)}[/tex]
В знаменателе: (1+x²) заменяем на x², тогда остается только косинус:
[tex]= - \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{cos(1/x)} = -\lim_{y \to -0} \frac{1}{cos y} = - \frac{1}{1} = -1[/tex]