∑(Сверху∞,снизу n=1) 9/9n*^2+3n-20

Решаем в два этапа:
I. Доказываем абсолютную сходимость ряда.

II. Находим сумму через телескопическую последовательность.
----------
Этап I.
Использую признак сравнения:
[tex]\forall n\in\mathbb{N}\ a_n\ \textless \ b_n\ \wedge\ \sum^\infty_{n=1}b_n\ \textless \ \infty \Rightarrow \sum^\infty_{n=1}a_n\ \textless \ \infty[/tex]
Докажем, что [tex]\frac{9}{9n^2+3n-12}\leq\frac{9}{n^2} [/tex]:
[tex]9n^2+3n-20-n^2\ \textgreater \ 0\\ 8n^2+3n-20\ \textgreater \ 0\\ n\ \textless \ \frac{-3-\sqrt{649}}{16}\ \textless \ 0\ \lor\ n\ \textgreater \ \frac{-3+\sqrt{649}}{16}[/tex]
Из неравенства следует что выражение [tex]9n^2+3n-20[/tex] больше чем [tex]n^2[/tex] для любого [tex]n\ \textgreater \ 2[/tex].
Остюда следует:
[tex]\frac{1}{9n^2+3n-20}\leq\frac{1}{n^2}\ \Rightarrow\ \frac{9}{9n^2+3n-20}\leq\frac{9}{n^2}[/tex]
Ряд [tex]\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^2}[/tex] сходится, потому [tex]9\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^2}=\sum^\infty_{n=1}\frac{9}{n^2}[/tex] сходится.
По признаку неравенства получаем схождение нашего ряда.

Для любого [tex]n\ \textgreater \ 1[/tex] выражение [tex]\frac{9}{9n^2+3n-20}\ \textgreater \ 0 [/tex], значит ряд состоит из неотрицательных элементов. Следовательно - сходится абсолютно.


Этап II.
Находим корни многочлена:
[tex]9n^2+3n-20=0\\ n_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{729}}{18}\\ n=-\frac{5}{3},\frac{4}{3}(3n-4)(3n+5)[/tex]
 
Разбиваем дробь:
[tex]\frac{9}{9n^2+3n-20}=\frac{A}{3n+5}+\frac{B}{3n-4}\\ A(3n-4)+B(3n+5)=9+0n\\ \left \{ {{3n(A+B)=0n} \atop {5B-4A=9}} \right. \\ \left \{ {{A=-B} \atop {5B-4A=9}} \right. \\ 9B=9\ \Rightarrow B=1\ \Rightarrow A=-1 \\ \frac{9}{9n^2+3n-20}=-\frac{1}{3n+5}+\frac{1}{3n-4} \\ \sum ^\infty_{n=1}\frac{9}{9n^2+3n-20}=\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{3n-4}-\frac{1}{3n+5}[/tex]
Обращаем внимание на телескопичность ряда:
[tex]\frac{1}{3(4k)-4}=\frac{1}{3k+5}[/tex]

Значит, начиная с четвёртого элемента, ряд сокращается. Получаем:
[tex]\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{3n-4}-\frac{1}{3n+5}=\frac{1}{3\cdot1-4}+\frac{1}{3\cdot2-4}+\frac{1}{3\cdot3-4}=-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}[/tex]