Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB=10 см, а расстояние от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12см и 5см

Пусть OM ⊥ AB, ON ⊥ CD (см. рисунок), тогда M - середина AB, N - середина CD (свойство радиуса перпендикулярного хорде)

Рассмотрим ΔOMB (∠M = 90°) и ΔONC (∠N = 90°)

OB = OC (радиусы), но OB² = OM² + BM², OC² = ON² + NC² (теорема Пифагора)

OM² + BM² = ON² + NC²

12² + 5² = 5² + NC²

NC² = 12²

NC = 12 ⇒ CD = 2 · NC = 24 см

Ответ:

CD = 24 см

Пошаговое объяснение:

Дано (см. рисунок):

 Окружность радиуса R

 AB=10 см– длина первой хорды

 OM=12 см– расстояние от центра O окружности до хорды AB

 ON=5 см – расстояние от центра O окружности до хорды CD

Найти: x=CD – длину второй хорды.

Решение.

Так как OA=OB=OC=OD  и равны радиусу R окружности, то получаем равнобедренные треугольники OAB и OCD. По условию, расстояние от центра O окружности до хорды AB, то есть длина отрезка OM, перпендикулярного к отрезке AB, равно 12 см. Точно также, расстояние от центра O окружности до хорды CD, то есть длина отрезка ON, перпендикулярного к отрезке CD, равно 5 см.

Но, по свойству равнобедренных треугольников, перпендикуляры OM и ON к основанию равнобедренных треугольников, соответственно, OAB и OCD является высотой, медианой и биссектрисой. Тогда медианы OM и ON делят, соответственно, основание равнобедренных треугольников OAB и OCD пополам. Отсюда получаем:

1) длина MB=10:2=5 см и длина ND=x:2 см;

2) треугольники OMB и OND прямоугольные с гипотенузой, равной радиусу R.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику OMB и находим R:

R² = OM²+MB² = 12²+5² = 144+25 = 169 = 13² или R=13 см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику OCD:

R² = ON²+ND² = 5²+(x:2)² или  

(x:2)² = R²–5² = 13²–5² = 169–25 = 144 = 12² или

x:2 = 12 см.

Отсюда CD=x= 12•2 = 24 см.